科学计算器完全指南：三角函数、对数、阶乘与组合数的实用公式

基本定义： 在直角三角形中： - sin(θ) = 对边 / 斜边 - cos(θ) = 邻边 / 斜边 - tan(θ) = 对边 / 邻边（= sin / cos）

弧度 vs 度数： 计算机默认使用「弧度」（radian）而非「度数」（degree）。 - 180° = π 弧度 - 转换公式：弧度 = 度数 × π / 180

例：30° = 30 × π / 180 = π / 6 ≈ 0.5236 弧度

常用值速查： | 角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | sin | 0 | 0.5 | √2/2 ≈ 0.707 | √3/2 ≈ 0.866 | 1 | | cos | 1 | √3/2 ≈ 0.866 | √2/2 ≈ 0.707 | 0.5 | 0 | | tan | 0 | √3/3 ≈ 0.577 | 1 | √3 ≈ 1.732 | ∞ |

实际应用： - 屋顶倾斜度 30° 时，高度 = 宽度 × tan(30°) - 梯子与地面成 60° 角，需要多长梯子靠上 3 米高的墙？ 答：梯子长 = 3 / sin(60°) ≈ 3.46 米

反三角函数是三角函数的逆运算，用于从已知比例推算角度。

三个主要反函数： - arcsin(x)：已知对边/斜边，求角度。返回值 -90° 到 90° 或 -π/2 到 π/2。 - arccos(x)：已知邻边/斜边，求角度。返回值 0° 到 180° 或 0 到 π。 - arctan(x)：已知对边/邻边，求角度。返回值 -90° 到 90° 或 -π/2 到 π/2。

JavaScript 实现： ``` Math.asin(0.5); // 返回 π/6 ≈ 0.5236（弧度）= 30° Math.acos(0.866); // 返回约 0.5236（弧度）= 30° Math.atan(1); // 返回 π/4 ≈ 0.7854（弧度）= 45°

// 转换为度数 Math.asin(0.5) * 180 / Math.PI; // ≈ 30 ```

实际应用： 摄像头视野问题：如果拍摄距离 10 米、拍摄宽度 8 米的场景，视角 = 2 × arctan(4/10) ≈ 2 × 21.8° = 43.6°

对数是指数的逆运算。如果 a^b = c，那么 log_a(c) = b。

三种常见对数： - ln(x)：自然对数，底数是欧拉常数 e ≈ 2.71828。在微积分和科学中最常用。 - log10(x)：常用对数，底数 10。在工程和声学中常见（分贝、pH 值）。 - log2(x)：二进制对数，底数 2。在计算机科学中常见（位数、信息论）。

换底公式：log_a(x) = ln(x) / ln(a)

JavaScript： ``` Math.log(100); // ln(100) ≈ 4.605 Math.log10(100); // log10(100) = 2（因为 10^2 = 100） Math.log2(8); // log2(8) = 3（因为 2^3 = 8）

// 计算其他底数的对数 function logBase(x, base) { return Math.log(x) / Math.log(base); } logBase(27, 3); // 3（因为 3^3 = 27） ```

实际应用： - 细菌增长：细菌每小时翻倍，6 小时后数量变成初始的多少倍？答：2^6 = 64 倍。反过来，从 1 增长到 1024，需要多少小时？log2(1024) = 10 小时。 - 分贝计算：声音强度级别 = 10 × log10(I / I0)，其中 I 是测量强度，I0 是基准。 - 股票复合增长率：年均增长率 = e^(ln(最终值/初始值) / 年数) - 1

阶乘（Factorial）：n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 - 0! = 1（特殊定义） - 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 - 用途：计算排列、组合、概率

function factorial(n) {
  if (n <= 1) return 1;
  return n * factorial(n - 1);
}
factorial(5); // 120

排列（Permutation）：从 n 个不同元素中选 k 个，顺序重要。 P(n, k) = n! / (n - k)!

例：5 个人排成一行，有多少种排法？P(5, 5) = 5! = 120 种。

function permutation(n, k) {
  return factorial(n) / factorial(n - k);
}
permutation(5, 2); // 20（从 5 个中选 2 个排列）

组合（Combination）：从 n 个不同元素中选 k 个，顺序不重要。 C(n, k) = n! / (k! × (n - k)!)

例：10 个球中选 3 个，有多少种选法？C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120 种。

function combination(n, k) {
  return factorial(n) / (factorial(k) * factorial(n - k));
}
combination(10, 3); // 120

实际应用： - 彩票 6/49：C(49, 6) = 10,068,347 种组合（中奖概率 1/1000 万） - 密码强度：26 个字母选 8 个，26^8 = 208 亿种可能 - 概率问题：5 张牌中有 2 张红桃，随机抽 3 张，有多少种包含至少 1 张红桃的情况？ 答：总情况 C(5,3) = 10；不含红桃的情况 C(3,3) = 1；所以答案 = 10 - 1 = 9

指数运算： - e^x：欧拉指数，增长最快的函数（自然对数的逆） - x^y：任意底数的任意幂

Math.exp(1); // e^1 ≈ 2.71828
Math.exp(2); // e^2 ≈ 7.389
Math.pow(2, 10); // 2^10 = 1024
Math.pow(10, -3); // 10^-3 = 0.001

双曲函数：类似三角函数，但基于双曲线而非圆形。常用于物理（悬链线）和工程。 - sinh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2 - cosh(x) = (e^x + e^(-x)) / 2 - tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)

Math.sinh(1); // ≈ 1.175
Math.cosh(1); // ≈ 1.543
Math.tanh(1); // ≈ 0.762

平方根、立方根与通用根： `` Math.sqrt(16); // 4 Math.cbrt(27); // 3 Math.pow(32, 1/5); // 5 次根号 32 = 2 ``

实际应用： - 放射性衰变：剩余物质 = 初始 × (1/2)^(经历半衰期数) - 悬链线（Catenary）：绳子自然下垂的形状 = a × cosh(x/a)

平均值（Mean）：所有数据的总和 ÷ 个数 `` let nums = [10, 20, 30, 40, 50]; let avg = nums.reduce((a, b) => a + b) / nums.length; // 30 ``

方差（Variance）：衡量数据离散程度。V = Σ(x_i - mean)^2 / n `` function variance(arr) { let mean = arr.reduce((a, b) => a + b) / arr.length; return arr.reduce((sum, x) => sum + Math.pow(x - mean, 2), 0) / arr.length; } variance([10, 20, 30, 40, 50]); // 200 ``

标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，单位与原数据相同。σ = √V `` function stdDev(arr) { return Math.sqrt(variance(arr)); } stdDev([10, 20, 30, 40, 50]); // ≈ 14.14 ``

实际应用： - 质量控制：产品长度标准差越小越好 - 金融风险：股票收益率标准差反映波动性，标准差大 = 风险大 - 考试评分：班级平均分 70、标准差 10，说明分数分布在 60-80 范围（大多数学生）

68-95-99.7 规则：在正态分布中，68% 数据在 ±1σ 范围内，95% 在 ±2σ，99.7% 在 ±3σ。

进制转换： ``` // 十进制转二进制 (42).toString(2); // "101010"

// 十进制转十六进制 (255).toString(16); // "ff"

// 二进制/十六进制转十进制 parseInt('101010', 2); // 42 parseInt('ff', 16); // 255 ```

常用进制一览： | 十进制 | 二进制 | 十六进制 | | --- | --- | --- | | 10 | 1010 | A | | 15 | 1111 | F | | 16 | 10000 | 10 | | 255 | 11111111 | FF |

内存按键（Memory Keys）的使用： - M+ (Memory Plus)：把当前显示值加到内存中。例：显示 50，按 M+，内存 = 50 - M- (Memory Minus)：从内存中减去当前值 - MR (Memory Recall)：取出内存中的值并显示 - MC (Memory Clear)**：清空内存

1. 输入 29.99，按 M+（内存 = 29.99）
2. 输入 14.50，按 M+（内存 = 44.49）
3. 输入 7.99，按 M+（内存 = 52.48）
4. 按 MR，显示总计 52.48

这避免了手写或心算，尤其在多步骤计算中减少错误。